ЛИНЕЙНОЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ И СИСТЕМА

- дифференциальное уравнение (и система) с частными производными вида

где L - линейный эллиптич. оператор

Оператор (1) с действительными коэффициентами эллиптичен в точке х, если характеристич. форма

является определенной в этой точке. Здесь

- мультииндекс (набор целых неотрицательных чисел),

В частности, порядок топератора Lдолжен быть четным m=2m'. С точностью до знака условие определенности форм записывается в виде

Оператор Lэллиптичен в области D, если он эллиптичен в каждой точке и равномерно эллиптичен в этой области, если в (2) не зависит от х.

В случае уравнения 2-го порядка

это определение может быть переформулировано следующим образом. Уравнение (3) эллиптично в области D, если в каждой точке этой области путем замены независимых переменных оно допускает приведение к канонич.виду

с оператором Лапласа

в главной части. В случае эллиптич. уравнения на плоскости при весьма широких предположениях относительно коэффициентов такое преобразование возможно не только в точке, но и во всей области (с.

Простейшим эллиптич. уравнением является Лапласа уравнение, его решения наз. гармоническими функциями. Решения линейного эллиптич. уравнения (л. э. у.) можно охарактеризовать тем, что они имеют много общих свойств с гармонич. функциями. В плоском случае все гармонич. функции описываются как реальные части аналитич. функций, они являются действительными аналитич. функциями двух переменных. Аналогичным свойством обладают решения общего л. э. у. Lu=f. Если коэффициенты и правая часть f(х).аналитичны по х=(x₁, . . ., х _п).в области D, то и любое решение этого уравнения также аналитично.

Существуют и другие утверждения подобного типа. Напр., если коэффициенты и правая часть уравнения Lu=f непрерывно дифференцируемы до порядка kи их k-e производные удовлетворяют условию Гёльдера с показателем то любое решение обладает производными до порядка k+m, удовлетворяющими условию Гёльдера с тем же показателем а. Принадлежность к классу Гёльдера здесь существенна. Если коэффициенты и правая часть просто непрерывны, то решения могут не иметь непрерывных производных порядка, равного порядку уравнения. Это верно даже для самого простого л. э. у.- Пуассона уравнения

Вышесказанное относится к классич. решениям, т. е. решениям, имеющим непрерывные производные до порядка, равного порядку уравнения. Существуют различные обобщения понятия решения.

Напр., если коэффициенты достаточно гладки, то для оператора (1) можно определить сопряженный по Лагранжу оператор

Локально интегрируемая функция и(х).наз. слабым решением уравнения Lu=f, если для всех (бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем) выполнено тождество

Тогда, если коэффициенты и правая часть уравнения Lu=f непрерывны по Гёльдеру, то всякое слабое решение является классическим.

Для уравнения Лапласа простейшей корректно поставленной задачей является Дирихле задача. В общем случае уравнения с оператором (1) краевая задача состоит в отыскании в области Dрешения и(х).уравнения Lu=f, удовлетворяющего граничным условиям вида

Задаче Дирихле отвечают граничные операторы = где означает дифференцирование по направлению внешней нормали.

Для того чтобы краевая задача была нётеровой, граничные операторы B_j должны удовлетворять условию дополнительности Шапиро - Лопатинского (см. [2]) - алгебраич. условию, связывающему многочлены

в точках границы Граничные операторы задачи Дирихле удовлетворяют этому условию по отношению к любому эллиптич. оператору L.

Если коэффициенты дифференциального оператора и решение рассматривать в классе комплексных функций, то эллиптичность оператора Lв (1) определяется условием Это определение допускает эллиптич. операторы нечетного порядка, как показывает пример оператора Коши - Рима на: Кроме того, меняются свойства операторов четного порядка. Напр., для Бицадзе уравнения (см. [3]):

задача Дирихле не является корректно поставленной: если D - единичный круг, то функции вида являются решениями однородной задачи Дирихле в области Dдля любой аналитич. функции f(z).

Этот пример привел к необходимости выделять классы эллиптич. операторов, для к-рых сохраняется нётеровость задачи Дирихле. На этом пути возникло понятие сильно эллиптич. оператора (см. [4]). Оператор (1) - сильно эллиптический оператор, если для нек-рой комплексной функции выполнено условие

В частности, порядок т - необходимо четное число. Следующим более широким понятием явилось понятие собственной (правильной) эллиптичности. Оператор (1) - собственно эллиптический оператор, если его порядок четен и для любой пары линейно независимых векторов многочлен по

имеет ровно корней с отрицательной мнимой частью истолько же - с положительной. Любой эллиптнч. оператор при собственно эллиптичен, так что определение по существу относится только к случаю п=2.

В теории л. э. у. значительную роль играют априорные оценки норм решений через нормы правых частей уравнения и граничных условий. Эти оценки начали систематически использоваться С. Н. Бернштейном (см. [6]) и свое дальнейшее развитие получили у Ю. Шаудера (см, [7]). Шаудеровские оценки относятся к решениям л. э. у. 2-го порядка в области Dс непрерывными по Гёльдеру коэффициентами и бывают двух видов. Оценки первого вида (оценки "внутри") состоят в том, что на любом компакте _ производные до 2-го порядка включительно и их гёльдеровские константы оцениваются через sup|u| и через модуль и гёльдеровскуго константу правой части уравнения. Оценки второго вида (оценки "вплоть до границы") относятся к краевым задачам. Здесь оценивают те же величины, но уже в замыкании рассматриваемой области, пв оценке фигурируют нормы правых частей граничных условий.

Шаудеровские оценки получили дальнейшее распространение для общих л. э. у. и краевых задач (см. [7]). Вывод этих оценок основан на теории потенциала. С помощью разбиения единицы им придается локальный характер, и дело сводится к оценке норм сингулярных интегральных операторов, к-рые представляют собой свертку с функциями, связанными с фундаментальными решениями (оценки "внутри") или с функциями Грина соответствующей краевой задачи в нек-рой стандартной области (оценки "вплоть до границы"). Эти оценки, полученные первоначально в метрике пространств Гёльдера распространены на пространства Соболева (L_p -оценки) и относятся к обобщенным решениям.

Для сильно эллиптич. операторов существует априорная оценка, наз. неравенством Гёрдинга, к-рая получена другими методами. Она лежит в основе функционального подхода к исследованию краевых задач (методы гильбертовых пространств).

В теории л. э. у. важное место занимают фундаментальные решения. Для оператора (1) с достаточно гладкими коэффициентами фундаментальное решение определяется как функция J(x, y), удовлетворяющая условию

для всех С точки зрения теории обобщенных функций это означает равенство

где справа стоит дельта-функция Дирака.

Фундаментальные решения л. э. у. существуют для уравнений с аналитич. оэффициентами (и сами тогда аналитичны), для уравнений с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами (и также принадлежащие классу ) и для ряда других уравнений с более слабыми ограничениями на коэффициенты. Для эллиптич. оператора L₀ с постоянными коэффициентами, состоящего из членов старшего порядка т=2т', фундаментальное решение зависит только от разности аргументов и имеет вид ( у=0).

где q(х) - многочлен степени т-п при четном пи в остальных случаях аналитична на сфере |x| = 1 (см. 18]).

В частности, для оператора Лапласа (m = 2) q = 0, для n>2 и q=const, для п=2.

Фундаментальные решения позволяют строить различные явные представления для решений л. э. у. Они являются необходимым аппаратом при изучении краевых задач с помощью интегральных уравнений. Для уравнения 2-го порядка этот метод является классическим и дает наиболее точные результаты (см. [9]).

Многообразные применения в теории л. э. у. 2-го порядка получил принцип максимума. Функции а _ij, а _i, а предполагаются непрерывными, оператор (3) равномерно эллиптичным в нек-рой области D. Функция и(х).непрерывна в замыкании и принадлежит классу C²(D).

Принцип максимума в его сильной форме заключается в следующем. Пусть М - оператор Lв (3), в котором

а) Если . и функция и(х).достигает своего максимума во внутренней точке, то ипостоянна.

б) Если и максимум идостигается в иек-рой граничной точке х ₀, к-рая расположена на поверхности нек-рого шара, целиком содержащегося в то и(х).либо постоянна, либо производная в точке х ₀ по направлению внешней нормали du/dv положительна.

Аналогичные утверждения справедливы для оператора Lс если в а) и б) под максимумом понимать положительный максимум. Принцип максимума является существенным элементом в доказательствах теорем единственности для решений ряда краевых задач. Он также имеет нек-рые аналоги в случае уравнений высшего порядка.

Лит.: [1] В е к у а И. Н., Обобщенные аналитические функции, М., 1959; [2] Б и ц а д з е А. В., Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка, М., 1966; [3] Агмон С., Дуглис А., Ниренберг Л., Оценки вблизи границы решений эллиптических уравнений в частных производных при общих граничных условиях, пер. с англ., М., 1962; [4] Йон Ф., Плоские волны и сферические средние в применении к дифференциальным уравнениям с частными производными, пер. с англ., М., 1958; [5] Миранда К., Уравнения с частными производными эллиптического типа, пер. с итал., М., 1957; [6] Берн штейн С. Н., Собр. соч., т. 3, М., 1960; [7] Schauder J., "Math. Z.", 1934, Bd 38, S. 257 - 82; [8] Лопатинcкий Я. Б.. "Укр. матем. ж.", 1953, т. 5, № 2, с. 123 - 51; [9] В и шик М. И., "Матем. сб.", 1951, т. 29, № 3, с. 615-76. А. П. Солдатов.